叫自身來解決問題。它主要包含兩個階段。 1. 遞：程式不斷深入地呼叫自身，通常傳入更小或更簡化的參數，直到達到“終止條件”。 2. 迴：觸發“終止條件”後，程式從最深層的遞迴函式開始逐層返回，匯聚每一層的結果。 而從實現的角度看，遞迴程式碼主要包含三個要素。 1. 終止條件：用於決定什麼時候由“遞”轉“迴”。 2. 遞迴呼叫：對應“遞”，函式呼叫自身，通常輸入更小或更簡化的參數。 3. 。 圖 6‑6 開放定址（線性探查）雜湊表的鍵值對分佈 然而，線性探查容易產生“聚集現象”。具體來說，陣列中連續被佔用的位置越長，這些連續位置發生雜湊衝 突的可能性越大，從而進一步促使該位置的聚堆積生長，形成惡性迴圈，最終導致增刪查改操作效率劣化。 值得注意的是，我們不能在開放定址雜湊表中直接刪除元素。這是因為刪除元素會在陣列內產生一個空桶 None ，而當查詢元素時，線性探查到該空桶就 27, 30, 33, … } hash = {0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, … } 如果輸入 key 恰好滿足這種等差數列的資料分佈，那麼雜湊值就會出現聚堆積，從而加重雜湊衝突。現在， 假設將 modulus 替換為質數 13 ，由於 key 和 modulus 之間不存在公約數，因此輸出的雜湊值的均勻性會明 顯提升。 第 6 章 雜湊表 www

。 图 6‑6 开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布 然而，线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲 突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。 值得注意的是，我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会 27, 30, 33, … } hash = {0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, … } 如果输入 key 恰好满足这种等差数列的数据分布，那么哈希值就会出现聚堆，从而加重哈希冲突。现在，假 设将 modulus 替换为质数 13 ，由于 key 和 modulus 之间不存在公约数，因此输出的哈希值的均匀性会明显 提升。 第 6 章 哈希表 hello‑algo 询效率，可以通过进一步将链表转换为红黑树来提高效率。 第 6 章 哈希表 hello‑algo.com 133 ‧ 开放寻址通过多次探测来处理哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素，且容易产生聚 集。多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相较线性探测更不易产生聚集，但多个哈希函数增加了计算 量。 ‧ 不同编程语言采取了不同的哈希表实现。例如，Java 的 HashMap 使用链式地址，而 Python

时，该空位可能导致 程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。 ‧ 容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这 一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。 以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。 ‧ 我们使用一个固定的键值对实例 removed 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为 27, 30, 33, … } hash = {0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, … } 如果输入 key 恰好满足这种等差数列的数据分布，那么哈希值就会出现聚堆，从而加重哈希冲突。现在，假设 将 modulus 替换为质数 13 ，由于 key 和 modulus 之间不存在公约数，输出的哈希值的均匀性会明显提升。 modulus = 13 key = 冲突元素存储在同一个链表中。然而，链表过长会降低查 询效率，可以进一步将链表转换为红黑树来提高效率。 ‧ 开放寻址通过多次探测来处理哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素，且容易产生聚 集。多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相较线性探测更不易产生聚集，但多个哈希函数增加了计算 量。 ‧ 不同编程语言采取了不同的哈希表实现。例如，Java 的 HashMap 使用链式地址，而 Python

。 图 6‑6 开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布 然而，线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲 突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。 值得注意的是，我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会 27, 30, 33, … } hash = {0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, … } 如果输入 key 恰好满足这种等差数列的数据分布，那么哈希值就会出现聚堆，从而加重哈希冲突。现在，假 设将 modulus 替换为质数 13 ，由于 key 和 modulus 之间不存在公约数，因此输出的哈希值的均匀性会明显 提升。 第 6 章 哈希表 www.hello‑algo 询效率，可以通过进一步将链表转换为红黑树来提高效率。 第 6 章 哈希表 www.hello‑algo.com 133 ‧ 开放寻址通过多次探测来处理哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素，且容易产生聚 集。多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相较线性探测更不易产生聚集，但多个哈希函数增加了计算 量。 ‧ 不同编程语言采取了不同的哈希表实现。例如，Java 的 HashMap 使用链式地址，而 Python

为元素不存在（即上述第 2. 种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。 ‧ 容易产生聚集。桶内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促 进这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率的劣化。 6. 散列表 hello‑algo.com 88 多次哈希 顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 ?1(?) , ?2(?) , ?3(?)