n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 18 2) 判断渐近上界 时间复杂度由多项式 ?(?) 中最高阶的项来决定。这是因为在 ? 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用， 其它项的影响都可以被忽略。 以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为 三种情况： 当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。 Figure 7‑18. 在二叉搜索树中删除结点（度为 0） 当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可。 Figure 7‑19. 在二叉搜索树中删除结点（度为 1） 当待删除结点的子结点数量 19) 11. 排序算法 hello‑algo.com 163 ('B', 18) ('C', 21) ('D', 19) ('E', 23) # 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表， # 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变， # 输入数据按姓名排序的性质丢失 ('B', 18) ('D', 19) ('A', 19) ('C', 21) ('E'

n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 18 2) 判断渐近上界 时间复杂度由多项式 ?(?) 中最高阶的项来决定。这是因为在 ? 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用， 其它项的影响都可以被忽略。 以下表格给出了一些例子，其中有一些夸张的值，是想要向大家强调 需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为 三种情况： 当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。 Figure 7‑18. 在二叉搜索树中删除结点（度为 0） 当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可。 Figure 7‑19. 在二叉搜索树中删除结点（度为 1） 当待删除结点的子结点数量 age) ('A', 19) ('B', 18) 11. 排序算法 hello‑algo.com 163 ('C', 21) ('D', 19) ('E', 23) # 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表， # 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变， # 输入数据按姓名排序的性质丢失 ('B', 18) ('D', 19) ('A', 19)

2.4. 推算方法 渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无需担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握 推算方法，数学意义可以逐渐领悟。 2. 复杂度 hello‑algo.com 18 根据定义，确定 ?(?) 之后，我们便可得到时间复杂度 ?(?(?)) 。那么如何确定渐近上界 ?(?) 呢？总体分 为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。 第一步：统计操作数量 针 作为模数，它可以被 3 整除。那么所有可以被 3 整除的 key 都会被映射到 0 , 3 , 6 这三个哈希值。 modulus = 9 key = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ⋯} hash = {0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, 0, 3, 6, ⋯} 如果输入 key 恰好满足这种等差数列的数据分布， modulus 之间不存在公约数，输出的哈希值的均匀性会明显提升。 6. 散列表 hello‑algo.com 109 modulus = 13 key = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ⋯} hash = {0, 3, 6, 9, 12, 2, 5, 8, 11, 1, 4, 7, ⋯} 值得说明的是，如果能够保证 key 是随机均匀

章 复杂度分析 17 2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 复杂度分析 Abstract 复杂度分析犹如浩瀚的算法宇宙中的时空向导。 它带领我们在时间与空间这两个维度上深入探索，寻找更优雅的解决方案。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 18 2.1 算法效率评估 在算法设计中，我们先后追求以下两个层面的目标。 1. 找到问题解法：算法需要在规定的输入范围内可靠地求得问题的正确解。 2. 寻求最优解法：同一个问题可能存在多种解法，我们希望找到尽可能高效的算法。 vector tmp; for (int j = 0; j < n; j++) { tmp.push_back(0); } numMatrix.push_back(tmp); } } 如图 2‑18 所示，该函数的递归深度为 ? ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 ?、? − 1、 …、2、1 ，平均长度为 ?/2 ，因此总体占用 ?(?2) 空间： // === File: space_complexity

. . . 17 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 时间复杂度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 空间复杂度 或空间 增长的“快慢”。 复杂度分析克服了实际测试方法的弊端，体现在以下两个方面。 ‧ 它独立于测试环境，分析结果适用于所有运行平台。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 18 ‧ 它可以体现不同数据量下的算法效率，尤其是在大数据量下的算法性能。 � 如果你仍对复杂度的概念感到困惑，无须担心，我们会在后续章节中详细介绍。 复杂度分析为我们提供了一把评估算法效率的“ vector tmp; for (int j = 0; j < n; j++) { tmp.push_back(0); } numMatrix.push_back(tmp); } } 如图 2‑18 所示，该函数的递归深度为 ? ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 ?、? − 1、 …、2、1 ，平均长度为 ?/2 ，因此总体占用 ?(?2) 空间： // === File: space_complexity

章 复杂度分析 17 2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 2 章 复杂度分析 � 复杂度分析犹如浩瀚的算法宇宙中的时空向导。 它带领我们在时间与空间这两个维度上深入探索，寻找更优雅的解决方案。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 18 2.1 算法效率评估 在算法设计中，我们先后追求以下两个层面的目标。 1. 找到问题解法：算法需要在规定的输入范围内可靠地求得问题的正确解。 2. 寻求最优解法：同一个问题可能存在多种解法，我们希望找到尽可能高效的算法。 vector tmp; for (int j = 0; j < n; j++) { tmp.push_back(0); } numMatrix.push_back(tmp); } } 如图 2‑18 所示，该函数的递归深度为 ? ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 ?、? − 1、 …、2、1 ，平均长度为 ?/2 ，因此总体占用 ?(?2) 空间： // === File: space_complexity

章 复杂度分析 17 2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 Abstract 复杂度分析犹如浩瀚的算法宇宙中的时空向导。 它带领我们在时间与空间这两个维度上深入探索，寻找更优雅的解决方案。 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 18 2.1 算法效率评估 在算法设计中，我们先后追求以下两个层面的目标。 1. 找到问题解法：算法需要在规定的输入范围内可靠地求得问题的正确解。 2. 寻求最优解法：同一个问题可能存在多种解法，我们希望找到尽可能高效的算法。 vector tmp; for (int j = 0; j < n; j++) { tmp.push_back(0); } numMatrix.push_back(tmp); } } 如图 2‑18 所示，该函数的递归深度为 ? ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 ?、? − 1、 …、2、1 ，平均长度为 ?/2 ，因此总体占用 ?(?2) 空间： // === File: space_complexity

2 章 複雜度分析 17 2.1 演算法效率評估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代與遞迴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 時間複雜度 Abstract 複雜度分析猶如浩瀚的演算法宇宙中的時空嚮導。 它帶領我們在時間與空間這兩個維度上深入探索，尋找更優雅的解決方案。 第 2 章 複雜度分析 www.hello‑algo.com 18 2.1 演算法效率評估 在演算法設計中，我們先後追求以下兩個層面的目標。 1. 找到問題解法：演算法需要在規定的輸入範圍內可靠地求得問題的正確解。 2. 尋求最優解法：同一個問題可能存在多 vector tmp; for (int j = 0; j < n; j++) { tmp.push_back(0); } numMatrix.push_back(tmp); } } 如圖 2‑18 所示，該函式的遞迴深度為 ? ，在每個遞迴函式中都初始化了一個陣列，長度分別為 ?、? − 1、 …、2、1 ，平均長度為 ?/2 ，因此總體佔用 ?(?2) 空間： // === File: space_complexity

may attempt to access data that is not in the cache or has been removed (evicted) from the cache 18Cache-friendly design Accessing data means accessing memory through the cache Running instructions # return predecessors to recover path 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 66Dijkstra's algorithm (early stopping) function Dijkstras(Graph, source, target): for # return predecessors to recover path 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 function Dijkstras(Graph, source, target): 1 2 for each vertex v in Graph.Vertices:

"zmm6","zmm7","zmm8","zmm9","zmm10","zmm11","zmm12","zmm13","zmm14","zmm15",\ "zmm16","zmm17","zmm18","zmm19","zmm20","zmm21","zmm22","zmm23","zmm24","zmm25","zmm26","zmm27","zmm28","zmm29","zmm30","zmm31");\ "zmm18","zmm19","zmm20","zmm21","zmm22","zmm23","zmm24","zmm25","zmm26","zmm27","zmm28","zmm29","zmm30","zmm31");\ ,! a_ptr -= M * K; b_ptr += 2 * K; c_ptr += 2 * ldc - M;\ } void mydgemm_cpu_v18(\ double *B, \ int LDB, \ double beta, \ double *C, \ int LDC)\ { int i,j,k; if (beta != 1.0) scale_c_k18(C,M,N,LDC,beta); if (alpha == 0.||K==0) return; int M4,N8=N&-8,K4; double *a_buffer = (double *)aligned_alloc(4096