2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 迭代（iteration）是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段 系”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某 ”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 迭代（iteration）是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段 系”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务， 我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。 2.2.1 迭代 「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某 、“四次方 关系”、以此类推。 2.2.2 递归 「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 19 � 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心， 可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 ? - 1 return count; } Figure 2‑5. 指数阶的时间复杂度 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 ? 次后停止。 // === File: time_complexity.cpp === /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n } return count; } Figure 2‑6. 对数阶的时间复杂度 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 // === File: time_complexity.cpp === /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return

线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 19 � 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心， 可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 ? - 1 return count; } Figure 2‑5. 指数阶的时间复杂度 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 ? 次后停止。 // === File: time_complexity.cpp === /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n } return count; } Figure 2‑6. 对数阶的时间复杂度 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 // === File: time_complexity.cpp === /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return

< ?(?!) 常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 � 部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归算法等。如果遇到不理解的部分，请不要担 心，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 复杂度 hello‑algo.com 23 Figure 2‑5. 指数阶的时间复杂度 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 ? 次分裂后停止。 // === File: time_complexity.cpp === /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return } return count; } Figure 2‑6. 对数阶的时间复杂度 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 // === File: time_complexity.cpp === /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return

decltype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 尾返回类型推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 decltype(auto) 让用户显式的声明函数或对象构造函数在编译期会成为常量表达式，这 个关键字明确的告诉编译器应该去验证 len_foo 在编译期就应该是一个常量表达式。 此外，constexpr 修饰的函数可以使用递归： constexpr int fibonacci(const int n) { return n == 1 || n == 2 ? 1 : fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); 其中，std::is_same 用于判断 T 和 U 这两个类型是否相等。输出结果为： type x == int type z == type x 20 2.3 类型推导 第 2 章语言可用性的强化 尾返回类型推导 你可能会思考，在介绍 auto 时，我们已经提过 auto 不能用于函数形参进行类型推导，那么 auto 能不能用于推导函数的返回类型呢？还是考虑一个加法函数的例子，在传统 C++ 中我们必须这么写：

限的，過深的遞迴可能導致堆疊溢位錯誤。 2. 尾遞迴 有趣的是，如果函式在返回前的最後一步才進行遞迴呼叫，則該函式可以被編譯器或直譯器最佳化，使其在 空間效率上與迭代相當。這種情況被稱為尾遞迴（tail recursion）。 ‧ 普通遞迴：當函式返回到上一層級的函式後，需要繼續執行程式碼，因此系統需要儲存上一層呼叫的上 下文。 ‧ 尾遞迴：遞迴呼叫是函式返回前的最後一個操作，這意味著函式返回到上一層級後，無須繼續執行其他 設為函式參數，從而實現尾遞迴： // === File: recursion.cpp === /* 尾遞迴 */ int tailRecur(int n, int res) { // 終止條件 if (n == 0) return res; // 尾遞迴呼叫 return tailRecur(n - 1, res + n); } 尾遞迴的執行過程如圖 2‑5 所示。對比普通遞迴和尾遞迴，兩者的求和操作的執行點是不同的。 ‧ 普通遞迴：求和操作是在“迴”的過程中執行的，每層返回後都要再執行一次求和操作。 ‧ 尾遞迴：求和操作是在“遞”的過程中執行的，“迴”的過程只需層層返回。 圖 2‑5 尾遞迴過程 Tip 請注意，許多編譯器或直譯器並不支持尾遞迴最佳化。例如，Python 預設不支持尾遞迴最佳化，因 此即使函式是尾遞迴形式，仍然可能會遇到堆疊溢位問題。 3. 遞迴樹 當處理與“分治”相關的演算法問題

GDI 繪圖工具 / 687 尺寸與方向：關於映像模式（座標系統） / 688 分頁 / 693 表頭（Header）與表尾（Footer）/ 695 動態計算頁碼 / 696 列印預覽（Print Preview） / 697 本章回顧 / 698 第 13 Step5－打印与预视（第12 章）：Step1 已有打印和预视能力，这当然 归功于CScribbleView::OnDraw。现在要加强的是更细致的打印能力，包括表 ■ ■ ■ 深入淺出 MFC 38 头、表尾、页码、映射模式等等。坐标系统（也就是映射模式，Mapping Mode） 的选择，关系到是否能够「所见即所得」。为了这个目的，必须使用能够反应 真实世界之尺寸（如英寸、公分）的映像模式，本例使用 完全拷贝动作，为的是节省拷贝时间（做为备份装置， 通常是软盘或磁带或可擦写光盘MO，读写速度并不快）。 JBACKUP 没有能力处理SrcDir 底下的子目录文件。如果要处理子目录，漂亮的作法是 使用递归（recursive），但是有点伤脑筋，这一部份留给你了。我的打字速度还算快，多 切换几次磁盘目录不是问题，呵呵呵。 JBACKUP 使用以下数个Win32 APIs： GetCurrentDirectory