我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜负你为本书所付出的宝贵“注意力”，我会竭尽所能，投入最大的“注意力” 来完成本书的创作。 本人自知学疏才浅，书中内容虽然已经过一段时间的打磨，但一定仍有许多错误，恳请各位老师和同学批评 指正。 本书中的代码附有可一键运行的源文件，托管于 github ”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为尾递归（tail recursion）。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归：

我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜负你为本书所付出的宝贵“注意力”，我会竭尽所能，投入最大的“注意力” 来完成本书的创作。本人自知学疏才浅，书中内容虽然已经过一段时间的打磨，但一定仍有许多错误，恳请 各位老师和同学批评指正。 本书中的代码附有可一键运行的源文件，托管于 github ”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归：

我深深赞同费曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”从这个意义上看，这本 书并非完全“免费”。为了不辜负你为本书所付出的宝贵“注意力”，我会竭尽所能，投入最大的“注意力” 来完成本书的创作。 本人自知学疏才浅，书中内容虽然已经过一段时间的打磨，但一定仍有许多错误，恳请各位老师和同学批评 指正。 本书中的代码附有可一键运行的源文件，托管于 github ”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为尾递归（tail recursion）。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无须继续执行其他 操作，因此系统无须保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归：

我深深認同費曼教授所言：“Knowledge isn’t free. You have to pay attention.”從這個意義上看，這本 書並非完全“免費”。為了不辜負你為本書所付出的寶貴“注意力”，我會竭盡所能，投入最大的“注意力” 來完成本書的創作。 本人自知學疏才淺，書中內容雖然已經過一段時間的打磨，但一定仍有許多錯誤，懇請各位老師與同學批評 指正。 本書中的程式碼附有可一鍵執行的原始檔，託管於 github capacity 觀察以上公式，當雜湊表容量 capacity 固定時，雜湊演算法 hash() 決定了輸出值，進而決定了鍵值對在雜 湊表中的分佈情況。 這意味著，為了降低雜湊衝突的發生機率，我們應當將注意力集中在雜湊演算法 hash() 的設計上。 6.3.1 雜湊演算法的目標 為了實現“既快又穩”的雜湊表資料結構，雜湊演算法應具備以下特點。 ‧ 確定性：對於相同的輸入，雜湊演算法應始終產生相同的輸出。這樣才能確保雜湊表是可靠的。 left subtree 左子树 左子樹 right subtree 右子树 右子樹 root node 根节点 根節點 leaf node 叶节点 葉節點 edge 边 邊 level 层 層 degree 度 度 height 高度 高度 depth 深度 深度 perfect binary tree 完美二叉树 完美二元樹 complete binary tree 完全二叉树

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度通常为 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 // === File: time_complexity 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为： ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，以此类推，直至第 ? 层时终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。 2. 递归调用：对应“递”，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。 3. 返回结果：对应“归”，将当前递归层级的结果返回至上一层。 观察以下代码，我们只需调用函数 recur(n) ，就可以完成 间效率上与迭代相当。这种情况被称为「尾递归 tail recursion」。 ‧ 普通递归：当函数返回到上一层级的函数后，需要继续执行代码，因此系统需要保存上一层调用的上下 文。 ‧ 尾递归：递归调用是函数返回前的最后一个操作，这意味着函数返回到上一层级后，无需继续执行其他 操作，因此系统无需保存上一层函数的上下文。 以计算 1 + 2 + ⋯ + ? 为例，我们可以将结果变量 res 设为函数参数，从而实现尾递归。 省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次等，都可以简化记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间复 杂度没有影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别 套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。 void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧

感到生疏，主要是函数的运用和函数的参数十分复杂。我对WINDOWS SDK 编程较少，是 否应该要熟悉WINDOWS API 函数后，结合MFC 框架编程？ 侯俊杰回复：的确如此。MFC 其实就是把Windows API 做了一层薄薄包装，包装于各个设 计良好的classes 而已。所以，掌握了MFC framework 架构组织之后，接下来在programming 实务方面，就是去了解并运用各个classes，而各个classes 看过重量级战斗吗？重量级战斗都有「一棒击沉」的威力。如果现实生活中发生重量级 战斗-- 使人生涯结束、生活受威胁的那种，那么战况之激烈不言可知。如果这场战斗关 系到你的程序员生涯，铃声响起时你最好付出高度注意力。 我说的是application framework。换个角度来说，我指的是整合型（全套服务的）C++ 软 体开发平台。目前，所有重要厂商包括Microsoft、Borland、Symantec、Metaware 的软件我也举得起来）。 当我们面临软件工业革命，我们的第一个考量点是：我的软件开发技术要从哪一个技术 面切入？从raw API 还是从高阶一点的工具？如果答案是后者，第二个考量点是我使用 哪一层级的工具？GUI toolkits 还是Class Library 还是Application Framework？如果答 案又是后者，第三个考量点是我使用哪一套产品？MFC 或OWL 或Open Class

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次、⋯⋯，都可以化简记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间 复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套 用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度都是 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为 ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，⋯⋯，直至到第 ? 层时 终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

省略所有系数。例如，循环 2? 次、5? + 1 次、⋯⋯，都可以化简记为 ? 次，因为 ? 前面的系数对时间 复杂度也不产生影响。 3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套 用上述 1. 和 2. 技巧。 以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。 ?(?) = 2?(? + 1) + (5? + 1) + 2 完整统计 (‑.‑|||) = logRecur(float n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } 线性对数阶 ?(? log ?) 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 ?(log ?) 和 ?(?) 。 主流排序算法的时间复杂度都是 ?(? log ?) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，则方案数量为 ?! = ? × (? − 1) × (? − 2) × ⋯ × 2 × 1 阶乘常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 ? 个，第二层分裂出 ? − 1 个，⋯⋯，直至到第 ? 层时 终止分裂。 // === File: time_complexity.cpp === /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int

free(a[i]); • free(a); • ↑ 有 Java 病的人，才会这样分配二维数组，又低效，又不方便。 • 造成了 m + 1 次 malloc 调用，内存都是分散的，每次访问都要解开两层指针，非常低效。 • 分配 n*m 二维数组，正确的方式永远是： float *a = malloc(n * m * sizeof(float)); • 也不要用 vector> 序的循环，其 X 是外层循环体，在先后执行的时间上是不连续的。 • 从而在硬件看来，以 YX 序遍历，就和顺序访问一维数组没什么两样，从而缓存预取能正 常运作，甚至编译器可以优化成一个 nx*ny 的一层循环。 • 而如果以 XY 序遍历，就像跳跃着访问一样，不连续，缓存得不到利用，每次读取只用了 其中 4 字节，浪费了缓存行剩下的 60 字节，非常低效。 • 结论： • 对于 YX 序（列主序， 造成的，一部分是因为跳 跃的访存让 CPU 没有办法自动预取造成的 。 封装成 ndarray 类 ndarray.h ，同学们可以在作业或 是自己的项目里随意使用。 不要再用 Java 式的二层三层指针 了，用 ndarray<2, float> 声明一 个二维浮点数组， ndarray<3, int> 声明一个三维整型数组。 这里的 ndarray 通过 a(x, y) 来 索引，看起来像