权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复 杂度和空间复杂度通常是非常困难的。 降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。 选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是 ±0 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 特别地，次正规数显著提升了浮点数的精度，这是因为： ‧ 最小正正规数为 2−126 ≈ 1.18 × 10−38 。 ‧ 最小正次正规数为 2−126 × 2−23 ≈ 1.4 × 10−45 。 双精度 double 从存储空间的角度看，使用 UTF‑8 表示英文字符非常高效，因为它仅需 1 个字节；使用 UTF‑16 编码某些非 英文字符（例如中文）会更加高效，因为它只需要 2 个字节，而 UTF‑8 可能需要 3 个字节。从兼容性的角度 看，UTF‑8 的通用性最佳，许多工具和库都优先支持 UTF‑8 。 3. 数据结构 hello‑algo.com 48 3.4.5. 编程语言的字符编码 对于以往的大多数编程语言，程序运行中的字符串都采用

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 与 C 的兼容性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 进一步阅读的参考文献 量避免使用。但是，已弃用的特性依然是标准库的一部分，并且出于兼容性的考虑，大部分 特性其实会『永久』保留。 • 不再允许字符串字面值常量赋值给一个 char *。如果需要用字符串字面值常量赋值和初始化一个 char *，应该使用 const char * 或者 auto。 char *str = "hello world!"; // 将出现弃用警告 8 1.2 与 C 的兼容性 第 1 章迈向现代 C++ • std::function）、export 等特性也均 被弃用。前面提到的这些特性如果你从未使用或者听说过，也请不要尝试去了解他们，应该向新标准靠 拢，直接学习新特性。毕竟，技术是向前发展的。 1.2 与 C 的兼容性 出于一些不可抗力、历史原因，我们不得不在 C++ 中使用一些 C 语言代码（甚至古老的 C 语言代 码），例如 Linux 系统调用。在现代 C++ 出现之前，大部分人当谈及『C 与 C++ 的区别是什么』时，

hello‑algo.com 13 ‧ 数据操作尽可能快速，涵盖数据访问、添加、删除、更新等。 ‧ 提供简洁的数据表示和逻辑信息，以便使得算法高效运行。 数据结构设计是一个充满权衡的过程。如果想要在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥协。下面举 两个例子。 ‧ 链表相较于数组，在数据添加和删除操作上更加便捷，但牺牲了数据访问速度。 ‧ 图相较于链表，提供了更丰富的逻辑信息，但需要占用更大的内存空间。 权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复 杂度和空间复杂度通常是非常困难的。 降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。 选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 2−126 ，最小正次正规数为 2−126×2−23 。 双精度 double 也采用类似 float 的表示方法，在此不做赘述。 第 3 章 数据结构 hello‑algo

hello‑algo.com 14 ‧ 数据操作尽可能快速，涵盖数据访问、添加、删除、更新等。 ‧ 提供简洁的数据表示和逻辑信息，以便算法高效运行。 数据结构设计是一个充满权衡的过程。如果想在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥协。下面举两 个例子。 ‧ 链表相较于数组，在数据添加和删除操作上更加便捷，但牺牲了数据访问速度。 ‧ 图相较于链表，提供了更丰富的逻辑信息，但需要占用更大的内存空间。 权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复 杂度和空间复杂度通常非常困难。 降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。 选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 2−126 ，最小正次正规数为 2−126×2−23 。 双精度 double 也采用类似于 float 的表示方法，在此不做赘述。 第 3 章 数据结构 hello‑algo

hello‑algo.com 14 ‧ 数据操作尽可能快速，涵盖数据访问、添加、删除、更新等。 ‧ 提供简洁的数据表示和逻辑信息，以便算法高效运行。 数据结构设计是一个充满权衡的过程。如果想在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥协。下面举两 个例子。 ‧ 链表相较于数组，在数据添加和删除操作上更加便捷，但牺牲了数据访问速度。 ‧ 图相较于链表，提供了更丰富的逻辑信息，但需要占用更大的内存空间。 权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复 杂度和空间复杂度通常非常困难。 降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为“以空间换时间”；反之，则称为“以时间换空间”。 选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此“以空间换时间”通 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 值得说明的是，次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 2−126 ，最小正次正规数为 2−126×2−23 。 双精度 double 也采用类似于 float 的表示方法，在此不做赘述。 第 3 章 数据结构 hello‑algo

本项目旨在创建一本开源、免费、对新手友好的数据结构与算法入门教程。 ‧ 全书采用动画图解，内容清晰易懂、学习曲线平滑，引导初学者探索数据结构与算法的知识地图。 ‧ 源代码可一键运行，帮助读者在练习中提升编程技能，了解算法工作原理和数据结构底层实现。 ‧ 提倡读者互助学习，欢迎大家在评论区提出问题与分享见解，在交流讨论中共同进步。 0.1.1 读者对象 若你是算法初学者，从未接触过算法，或者已 空间占用尽量少，以节省计算机内存。 ‧ 数据操作尽可能快速，涵盖数据访问、添加、删除、更新等。 ‧ 提供简洁的数据表示和逻辑信息，以便算法高效运行。 数据结构设计是一个充满权衡的过程。如果想在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥协。下面举两 个例子。 ‧ 链表相较于数组，在数据添加和删除操作上更加便捷，但牺牲了数据访问速度。 ‧ 图相较于链表，提供了更丰富的逻辑信息，但需要占用更大的内存空间。 如果把具体的工作技能比作是武功的“招式”的话，那么基础科目应该更像是“内功”。 我认为学算法（以及其他基础科目）的意义不是在于在工作中从零实现它，而是基于学到的知识，在解决问 题时能够作出专业的反应和判断，从而提升工作的整体质量。举一个简单例子，每种编程语言都内置了排序 函数： ‧ 如果我们没有学过数据结构与算法，那么给定任何数据，我们可能都塞给这个排序函数去做了。运行顺 畅、性能不错，看上去并没有什么问题。

为程序进入点，可 以调用C runtime 函数。但，当然，不可能调用Win32 API 函数。 程序能力 过去的DOS 程序仍然可以在Windows 的DOS Box 中跑（Win95 的兼容性极高， WinNT 的兼容性稍差）。 30 Console 程序当然更没有问题。由于console 程序可以调用部份的Win32 API（尤其是 KERNEL32.DLL 模块所提供的那一部份），所以它可以使用Windows 才执行。此等级最适合于系统监视软件，或屏幕保护软件。 ■ "normal" 是预设等级。系统可以动态改变优先权，但只限于"normal" 等级。 当进程变成前景，执行线程优先权提升为9，当进程变成背景，优先权降低为7。 ■ "high" 等级是为了立即反应的需要，例如使用者按下Ctrl+Esc 时立刻把工作管 理器（task manager）带出场。 ■ "realtime" 的this 指针。 this 指针 this 指针 60 3. 既然所有类别都有display 动作，把它提升到老祖宗CShape 去，然后再继承 之，好吗？不好，因为display 函数应该因不同的形状而动作不同。 4. 如果display 不能提升到基础类别去，我们就不能够以一个for 循环或while 循环干净漂亮地完成下列动作（此种动作模式在对象导向程序方法中重要无

本專案旨在建立一本開源、免費、對新手友好的資料結構與演算法入門教程。 ‧ 全書採用動畫圖解，內容清晰易懂、學習曲線平滑，引導初學者探索資料結構與演算法的知識地圖。 ‧ 源程式碼可一鍵執行，幫助讀者在練習中提升程式設計技能，瞭解演算法工作原理和資料結構底層實 現。 ‧ 提倡讀者互助學習，歡迎大家在評論區提出問題與分享見解，在交流討論中共同進步。 0.1.1 讀者物件 若你是演算法初學者，從未接觸過 空間佔用儘量少，以節省計算機記憶體。 ‧ 資料操作儘可能快速，涵蓋資料訪問、新增、刪除、更新等。 ‧ 提供簡潔的資料表示和邏輯資訊，以便演算法高效執行。 資料結構設計是一個充滿權衡的過程。如果想在某方面取得提升，往往需要在另一方面作出妥協。下面舉兩 個例子。 ‧ 鏈結串列相較於陣列，在資料新增和刪除操作上更加便捷，但犧牲了資料訪問速度。 ‧ 圖相較於鏈結串列，提供了更豐富的邏輯資訊，但需要佔用更大的記憶體空間。 如果把具體的工作技能比作是武功的“招式”的話，那麼基礎科目應該更像是“內功”。 我認為學演算法（以及其他基礎科目）的意義不是在於在工作中從零實現它，而是基於學到的知識，在解決 問題時能夠作出專業的反應和判斷，從而提升工作的整體質量。舉一個簡單例子，每種程式語言都內建了排 序函式： ‧ 如果我們沒有學過資料結構與演算法，那麼給定任何資料，我們可能都塞給這個排序函式去做了。執行 順暢、效能不錯，看上去並沒有什麼問題。

权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空 间复杂度是非常困难的。 降低时间复杂度，往往是以提升空间复杂度为代价的，反之亦然。我们把牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为「以空间换时间」；反之，称之为「以时间换空间」。选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 34 ±0 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 特别地，次正规数显著提升了小数精度： ‧ 最小正正规数为 2−126 ≈ 1.18 × 10−38 ； ‧ 最小正次正规数为 2−126 × 2−23 ≈ 1.4 × 10−45 ； 双精度 double 也采用类似 度；但结点访问效率低、占用 内存多。常见的链表类型有单向链表、循环链表、双向链表。 ‧ 列表又称动态数组，是基于数组实现的一种数据结构，其保存了数组的优势，且可以灵活改变长度。列 表的出现大大提升了数组的实用性，但副作用是会造成部分内存空间浪费。 ‧ 下表总结对比了数组与链表的各项特性。 数组 链表 存储方式 连续内存空间 离散内存空间 数据结构长度 长度不可变 长度可变 内存使用率

权衡时间与空间 理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空 间复杂度是非常困难的。 降低时间复杂度，往往是以提升空间复杂度为代价的，反之亦然。我们把牺牲内存空间来提升算法运行速度的 思路称为「以空间换时间」；反之，称之为「以时间换空间」。选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 34 ±0 次正规数 (−1)S × 2−126 × (0.N) 1, 2, … , 254 正规数 正规数 (−1)S × 2(E−127) × (1.N) 255 ±∞ NaN 特别地，次正规数显著提升了小数精度： ‧ 最小正正规数为 2−126 ≈ 1.18 × 10−38 ； ‧ 最小正次正规数为 2−126 × 2−23 ≈ 1.4 × 10−45 ； 双精度 double 也采用类似 度；但结点访问效率低、占用 内存多。常见的链表类型有单向链表、循环链表、双向链表。 ‧ 列表又称动态数组，是基于数组实现的一种数据结构，其保存了数组的优势，且可以灵活改变长度。列 表的出现大大提升了数组的实用性，但副作用是会造成部分内存空间浪费。 ‧ 下表总结对比了数组与链表的各项特性。 数组 链表 存储方式 连续内存空间 离散内存空间 数据结构长度 长度不可变 长度可变 内存使用率