时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在 时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作 的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样的简化方法大大降低了估算难度。 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同 样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最 有效且常用的方法。 2.2.3. 函数渐近上界 设算法的计算操作数量是一个关于输入数据大小 ? 的函数，记为 ?(?) ，则以下算法的操作数量为 ?(?) = 3 + 2? def algorithm(n: int): a = 1 # +1 a = a + 1 # +1 a = a * 2 # 我们将线性阶的时间复杂度记为 ?(?) ，这个数学符号称为「大 ? 记号 Big‑? Notation」，表示函数 ?(?) 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。 推算时间复杂度本质上是计算“操作数量函数 ?(?)”的渐近上界。接下来，我们来看函数渐近上界的数学 定义。 2. 复杂度 hello‑algo.com 17 � 函数渐近上界 若存在正实数 ? 和实数 ?0 ，使得对于所有的

res += i return res 图 2‑1 是该求和函数的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 20 图 2‑1 求和函数的流程框图 此求和函数的操作数量与输入数据大小 ? 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，时间复杂度描述的就是 这个“线性关系”。相关内容将会在下一节中详细介绍。 2. while 循环 与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 {j}), " return res 图 2‑2 是该嵌套循环的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 22 图 2‑2 嵌套循环的流程框图 在这种情况下，函数的操作数量与 ?2 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 ? 成“平方关系”。 我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”“四次方 关系”，以此类推。 2 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因 此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将 “计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。 ‧ 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很 大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小

res += i return res 图 2‑1 是该求和函数的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 20 图 2‑1 求和函数的流程框图 此求和函数的操作数量与输入数据大小 ? 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，时间复杂度描述的就是 这个“线性关系”。相关内容将会在下一节中详细介绍。 2. while 循环 与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 {j}), " return res 图 2‑2 是该嵌套循环的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 22 图 2‑2 嵌套循环的流程框图 在这种情况下，函数的操作数量与 ?2 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 ? 成“平方关系”。 我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”“四次方 关系”，以此类推。 2 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因 此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将 “计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。 ‧ 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很 大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小

res += i return res 图 2‑1 展示了该求和函数的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 19 图 2‑1 求和函数的流程框图 此求和函数的操作数量与输入数据大小 ? 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，时间复杂度描述的就是 这个“线性关系”。相关内容将会在下一节中详细介绍。 2. while 循环 与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 {j}), " return res 图 2‑2 给出了该嵌套循环的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 hello‑algo.com 21 图 2‑2 嵌套循环的流程框图 在这种情况下，函数的操作数量与 ?2 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 ? 成“平方关系”。 我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”、“四次方 关系”、以此类推。 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因 此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将 “计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样以来估算难度就大大降低了。 ‧ 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很 大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小

res += i return res 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 20 图 2‑1 是该求和函数的流程框图。 图 2‑1 求和函数的流程框图 此求和函数的操作数量与输入数据大小 ? 成正比，或者说成“线性关系”。实际上，时间复杂度描述的就是 这个“线性关系”。相关内容将会在下一节中详细介绍。 2. while 循环 与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 " return res 图 2‑2 是该嵌套循环的流程框图。 第 2 章 复杂度分析 www.hello‑algo.com 22 图 2‑2 嵌套循环的流程框图 在这种情况下，函数的操作数量与 ?2 成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 ? 成“平方关系”。 我们可以继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次“升维”，将会使时间复杂度提高至“立方关系”“四次方 关系”，以此类推。 2 时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因 此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将 “计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。 ‧ 时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很 大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小

帮助用户发现和比较得出需要优化的部分 • 给出了每个函数调用的时间，支持递归 • 运行结果可以基于pstats导出，也可基于 snakeviz进行可视化 • Cprofile 缺点 • 确定性分析，overhead过高 • 统计信息太多，更多的是noise • 更适合即时 profiling，而非在生产环境中 持续 profiling • 只到function 粒度，函数内部未知 Pyinstrument

7.13 stop stop 形参的值 step step 形参的值 (如果该形参未提供则为 1) range 类型相比常规list 或tuple 的优势在于一个range 对象总是占用固定数量的（较小）内存，不论其 所表示的范围有多大（因为它只保存了 start, stop 和 step 值，并会根据需要计算具体单项或子范围的 值）。 range 对象实现了collections.abc array 可能有更 大的元素。 len(view) 与tolist 的长度相等。如果 view.ndim = 0，则其长度为 1。如果 view.ndim = 1，则其长度等于 view 中元素的数量。对于更高的维度，其长度等于表示 view 的嵌套列表的长度。 itemsize 属性可向你给出单个元素所占的字节数。 memoryview 支持通过切片和索引访问其元素。一维切片的结果将是一个子视图: 对象构成的集合，所有的内层集合必须为frozenset 对象。如果未指定 iterable，则将返回一个新的空 集合。 set 和frozenset 的实例提供以下操作： len(s) 返回集合 s 中的元素数量（即 s 的基数）。 x in s 检测 x 是否为 s 中的成员。 4.9. 集合类型 --- set, frozenset 69 The Python Library Reference

(如果该形参未提供则为 0) stop stop 形参的值 step step 形参的值 (如果该形参未提供则为 1) range 类型相比常规list 或tuple 的优势在于一个range 对象总是占用固定数量的（较小）内存，不 论其所表示的范围有多大（因为它只保存了 start, stop 和 step 值，并会根据需要计算具体单项或子 范围的值）。 range 对象实现了collections.abc array 可能 有更大的元素。 len(view) 与tolist 的长度相等。如果 view.ndim = 0，则其长度为 1。如果 view.ndim = 1，则其长度等于 view 中元素的数量。对于更高的维度，其长度等于表示 view 的嵌套列表的长度。 itemsize 属性可向你给出单个元素所占的字节数。 memoryview 支持通过切片和索引访问其元素。一维切片的结果将是一个子视图: 合对象构成的集合，所有的内层集合必须为frozenset 对象。如果未指定 iterable，则将返回一个 新的空集合。 set 和frozenset 的实例提供以下操作： len(s) 返回集合 s 中的元素数量（即 s 的基数）。 x in s 检测 x 是否为 s 中的成员。 x not in s 检测 x 是否非 s 中的成员。 isdisjoint(other) 如果集合中没有与 other

(如果该形参未提供则为 0) stop stop 形参的值 step step 形参的值 (如果该形参未提供则为 1) range 类型相比常规list 或tuple 的优势在于一个range 对象总是占用固定数量的（较小）内存，不论其 所表示的范围有多大（因为它只保存了 start, stop 和 step 值，并会根据需要计算具体单项或子范围的 值）。 range 对象实现了collections.abc array 可能有更 大的元素。 len(view) 与tolist 的长度相等。如果 view.ndim = 0，则其长度为 1。如果 view.ndim = 1，则其长度等于 view 中元素的数量。对于更高的维度，其长度等于表示 view 的嵌套列表的长度。 itemsize 属性可向你给出单个元素所占的字节数。 memoryview 支持通过切片和索引访问其元素。一维切片的结果将是一个子视图: 使用类型构造器: set(), set('foobar'), set(['a', 'b', 'foo']) set 和frozenset 的实例提供以下操作： len(s) 返回集合 s 中的元素数量（即 s 的基数）。 x in s 检测 x 是否为 s 中的成员。 x not in s 检测 x 是否非 s 中的成员。 isdisjoint(other) 如果集合中没有与 other

(如果该形参未提供则为 0) stop stop 形参的值 step step 形参的值 (如果该形参未提供则为 1) range 类型相比常规list 或tuple 的优势在于一个range 对象总是占用固定数量的（较小）内存，不 论其所表示的范围有多大（因为它只保存了 start, stop 和 step 值，并会根据需要计算具体单项或子 范围的值）。 range 对象实现了collections.abc array 可能 有更大的元素。 len(view) 与tolist 的长度相等。如果 view.ndim = 0，则其长度为 1。如果 view.ndim = 1，则其长度等于 view 中元素的数量。对于更高的维度，其长度等于表示 view 的嵌套列表的长度。 itemsize 属性可向你给出单个元素所占的字节数。 memoryview 支持通过切片和索引访问其元素。一维切片的结果将是一个子视图: 使用类型构造器: set(), set('foobar'), set(['a', 'b', 'foo']) set 和frozenset 的实例提供以下操作： len(s) 返回集合 s 中的元素数量（即 s 的基数）。 x in s 检测 x 是否为 s 中的成员。 x not in s 检测 x 是否非 s 中的成员。 isdisjoint(other) 如果集合中没有与 other