2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 迭代（iteration）是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段 系”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某 ”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。 2.2.1 迭代 迭代（iteration）是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段 系”“四次方 关系”，以此类推。 2.2.2 递归 递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

2.1 算法效率评估 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 迭代与递归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 时间复杂度 . . . 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务， 我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。 2.2.1 迭代 「迭代 iteration」是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某 、“四次方 关系”、以此类推。 2.2.2 递归 「递归 recursion」是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。 1. 递：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到“终止条件”。 2. 归：触发“终止条件”后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。 而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。 1. 终止条件：用于决定什么时候由“递”转“归”。

< ?(?!) 常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 � 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心， 可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 ? 指数阶的时间复杂度 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 22 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 ? 次后停止。 # === File: time_complexity.py === def exp_recur(n): """ 指数阶（递归实现）""" if n == 1: return 1 return exp_recur(n - 1) Figure 2‑6. 对数阶的时间复杂度 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 23 # === File: time_complexity.py === def log_recur(n): """ 对数阶（递归实现）""" if n <= 1: return 0 return log_recur(n

< ?(?!) 常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 � 部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心， 可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 ? com 22 Figure 2‑5. 指数阶的时间复杂度 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，分裂 ? 次后停止。 # === File: time_complexity.py === def exp_recur(n: int) -> int: """ 指数阶（递归实现）""" if n == 1: return 1 return exp_recur(n 2. 复杂度分析 hello‑algo.com 23 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 # === File: time_complexity.py === def log_recur(n: float) -> int: """ 对数阶（递归实现）""" if n <= 1: return 0 return log_recur(n

< ?(?!) 常数阶 < 对数阶 < 线性阶 < 线性对数阶 < 平方阶 < 指数阶 < 阶乘阶 Figure 2‑3. 时间复杂度的常见类型 � 部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归算法等。如果遇到不理解的部分，请不要担 心，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。 常数阶 ?(1) 常数阶的操作数量与输入数据大小 ? 无关，即不随着 count Figure 2‑5. 指数阶的时间复杂度 在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 ? 次分裂后停止。 # === File: time_complexity.py === def exp_recur(n: int) -> int: """ 指数阶（递归实现）""" if n == 1: return 1 return exp_recur(n count Figure 2‑6. 对数阶的时间复杂度 与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 log2 ? 的递归树。 # === File: time_complexity.py === def log_recur(n: float) -> int: """ 对数阶（递归实现）""" if n <= 1: return 0 return log_recur(n

............................................................................................. 83 递归函数 ................................................................................................ 默认值。 定义命名的关键字参数不要忘了写分隔符*，否则定义的将是位置参数。 参考源码 var_args.py kw_args.py 递归函数 在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身， 这个函数就是递归函数。 举个例子，我们来计算阶乘 n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数 fact(n) 表示，可以看出： fact(n) = 所以，fact(n)可以表示为 n x fact(n-1)，只有 n=1 时需要特殊处理。 于是，fact(n)用递归的方式写出来就是： def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1) 上面就是一个递归函数。可以试试： >>> fact(1) 1 >>> fact(5) 120 >>> fact(100)

限的，過深的遞迴可能導致堆疊溢位錯誤。 2. 尾遞迴 有趣的是，如果函式在返回前的最後一步才進行遞迴呼叫，則該函式可以被編譯器或直譯器最佳化，使其在 空間效率上與迭代相當。這種情況被稱為尾遞迴（tail recursion）。 ‧ 普通遞迴：當函式返回到上一層級的函式後，需要繼續執行程式碼，因此系統需要儲存上一層呼叫的上 下文。 ‧ 尾遞迴：遞迴呼叫是函式返回前的最後一個操作，這意味著函式返回到上一層級後，無須繼續執行其他 res 設為函式參數，從而實現尾遞迴： # === File: recursion.py === def tail_recur(n, res): """ 尾遞迴""" # 終止條件 if n == 0: return res # 尾遞迴呼叫 return tail_recur(n - 1, res + n) 尾遞迴的執行過程如圖 2‑5 所示。對比普通遞迴和尾遞迴，兩者的求和操作的執行點是不同的。 普通遞迴：求和操作是在“迴”的過程中執行的，每層返回後都要再執行一次求和操作。 ‧ 尾遞迴：求和操作是在“遞”的過程中執行的，“迴”的過程只需層層返回。 第 2 章 複雜度分析 www.hello‑algo.com 25 圖 2‑5 尾遞迴過程 Tip 請注意，許多編譯器或直譯器並不支持尾遞迴最佳化。例如，Python 預設不支持尾遞迴最佳化，因 此即使函式是尾遞迴形式，仍然可能會遇到堆疊溢位問題。 3. 遞迴樹

机制对不同类型的对象行为不同，它会试图返回最相关而不是最全的信息： • 如果对象是模块对象，则列表包含模块的属性名称。 • 如果对象是类型或类对象，则列表包含它们的属性名称，并且递归查找所有基类的属性。 • 否则，列表包含对象的属性名称，它的类属性名称，并且递归查找它的类的所有基类的属性。 返回的列表按字母表排序。例如： 8 Chapter 2. 内置函数 The Python Library Reference classinfo 的实例或者是其 (直接、间接或虚拟) 子类则返回 True。如果 object 不是给定类型的对象，函数将总是返回 False。如果 classinfo 是类型对象元组（或由其他此类元组 递归组成的元组），那么如果 object 是其中任何一个类型的实例就返回 True。如果 classinfo 既不是 类型，也不是类型元组或类型元组的元组，则将引发TypeError 异常。 issubclass(class 对时才会相等（不考虑顺序）。排序比较 (’<’, ’<=’, ’>=’, ’>’) 会引发TypeError。 字典会保留插入时的顺序。请注意对键的更新不会影响顺序。删除并再次添加的键将被插入到末 尾。 >>> d = {"one": 1, "two": 2, "three": 3, "four": 4} >>> d {'one': 1, 'two': 2, 'three': 3, 'four':