. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 第 13 章 回溯 262 13.1 回溯演算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 13.2 全排列問題 資料結構：基本資料型別和資料結構的分類方法。陣列、鏈結串列、堆疊、佇列、雜湊表、樹、堆積、 圖等資料結構的定義、優缺點、常用操作、常見型別、典型應用、實現方法等。 ‧ 演算法：搜尋、排序、分治、回溯、動態規劃、貪婪等演算法的定義、優缺點、效率、應用場景、解題 步驟和示例問題等。 第 0 章 前言 www.hello‑algo.com 3 圖 0‑1 本書主要內容 0.1.3 致謝 本 的遞迴樹（recursion tree）。 圖 2‑6 費波那契數列的遞迴樹 從本質上看，遞迴體現了“將問題分解為更小子問題”的思維範式，這種分治策略至關重要。 ‧ 從演算法角度看，搜尋、排序、回溯、分治、動態規劃等許多重要演算法策略直接或間接地應用了這種 思維方式。 ‧ 從資料結構角度看，遞迴天然適合處理鏈結串列、樹和圖的相關問題，因為它們非常適合用分治思想進 行分析。 2.2.3 兩者對比

小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 13. 回溯 235 13.1. 回溯算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 13.2. 全排列问题 复杂度分析：数据结构和算法的评价维度，算法效率的评估方法。时间复杂度、空间复杂度的推算方 法、常见类型、示例等。 ‧ 数据结构：基本数据类型，数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、散列表、树、堆、图等数据 结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤、 示例题目等。 0. 前言 # 1 ns print(0) # 5 ns 2. 复杂度 hello‑algo.com 15 然而实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算 法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难 度。 2.2.2. 统计时间增长趋势 「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 第 13 章 回溯 263 13.1 回溯算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 13.2 全排列问题 例等。 ‧ 数据结构：基本数据类型，数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图等数据 结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤、 示例题目等。 第 0 章 前言 hello‑algo.com 3 图 0‑1 Hello 算法内容结构 0.1.3 致谢 适合作为最先介绍的内容。然而，当我们讨论某个数据结构或算法的特点时，难以避免要分析其运行速度和 空间使用情况。 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在数据结构与算法中，重复执行某个任务是很常见的，其与算法的复杂度密切相关。而要重复执行某个任务， 我们通常会选用两种基本的程序结构：迭代和递归。 2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 第 13 章 回溯 262 13.1 回溯算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 13.2 全排列问题 例等。 ‧ 数据结构：基本数据类型和数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图等数据 结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤 和示例问题等。 第 0 章 前言 hello‑algo.com 3 图 0‑1 本书主要内容 0.1.3 致谢 本书在开源社 适合作为最先介绍的内容。然而，当我们讨论某个数据结构或算法的特点时，难以避免要分析其运行速度和 空间使用情况。 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 第 13 章 回溯 263 13.1 回溯算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 13.2 全排列问题 例等。 ‧ 数据结构：基本数据类型和数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图等数据 结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。 ‧ 算法：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤 和示例问题等。 第 0 章 前言 hello‑algo.com 3 图 0‑1 本书主要内容 0.1.3 致谢 本书在开源社 适合作为最先介绍的内容。然而，当我们讨论某个数据结构或算法的特点时，难以避免要分析其运行速度和 空间使用情况。 综上所述，建议你在深入学习数据结构与算法之前，先对复杂度分析建立初步的了解，以便能够完成简单算 法的复杂度分析。 2.2 迭代与递归 在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。因此，在介绍时间复杂度和空间复杂 度之前，我们先来了解如何在程序中实现重复执行任务，即两种基本的程序控制结构：迭代、递归。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671 27.3 faulthandler --- 转储 Python 回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676 27.3.1 转储跟踪信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799 29.11 traceback --- 打印或读取栈回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1800 29.11.1 模块级函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992 36.4 cgitb --- 用于 CGI 脚本的回溯管理器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992 36.5 chunk --- 读取 IFF 分块数据 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1671 27.3 faulthandler --- 转储 Python 回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676 27.3.1 转储跟踪信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799 29.11 traceback --- 打印或读取栈回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1800 29.11.1 模块级函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992 36.4 cgitb --- 用于 CGI 脚本的回溯管理器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992 36.5 chunk --- 读取 IFF 分块数据 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652 29.10 traceback ——打印或读取栈回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653 29.10.1 TracebackException 对象 . . FrameSummary 对象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656 29.10.4 回溯示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657 29.11 __future__ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825 35.6 cgitb --- 用于 CGI 脚本的回溯管理器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825 35.7 chunk --- 读取 IFF 分块数据 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764 29.10 traceback ——打印或读取栈回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765 29.10.1 TracebackException 对象 FrameSummary 对象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769 29.10.4 回溯示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948 35.6 cgitb --- 用于 CGI 脚本的回溯管理器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949 35.7 chunk --- 读取 IFF 分块数据

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699 27.3 faulthandler --- 转储 Python 回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704 27.3.1 转储跟踪信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 29.11 traceback --- 打印或读取栈回溯信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829 29.11.1 模块级函数 . . . . . . . . __annotations__) 并具有新的 __wrapped__ 属性。 Deprecated since version 3.11, removed in version 3.13: 类 方 法 不 再 可 以 包 装 其 他descriptors 例 如property()。 compile(source, filename, mode, flags=0, dont_inherit=False