第 13 章 回溯 hello‑algo.com 281 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 hello‑algo.com 312 Question 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。 机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回 从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 hello‑algo.com 313 图 14‑11 状态定义与 dp 表 Note 动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进

约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 问题“最小路径和”来举例。 Question 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。 机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回 从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 hello‑algo.com 313 图 14‑11 状态定义与 dp 表 Note 动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进

第 13 章 回溯 hello‑algo.com 284 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 问题“最小路径和”来举例。 Question 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。 机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回 从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 hello‑algo.com 316 图 14‑11 状态定义与 dp 表 Note 动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进

章 回溯 www.hello‑algo.com 281 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 hello‑algo.com 312 Question 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。 机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回 从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 www.hello‑algo.com 313 图 14‑11 状态定义与 dp 表 Note 动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进

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约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。 � 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格 的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角 单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第 14 章 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 图 14‑11 状态定义与 dp 表 � 动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含 描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。

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约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。 � 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格 的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角 单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第 14 章 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 图 14‑11 状态定义与 dp 表 � 动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含 描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。

约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题“最小路径和”来举例。 � 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格 的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角 单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 hello‑algo.com 315 图 14‑11 状态定义与 dp 表 � 动态规划和回溯过程可以被描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含

约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。 ‧ ? 皇后：在 ? × ? 的棋盘上放置 ? 个皇后，使得它们互不攻击。 ‧ 数独：在 9 × 9 的网格中填入数字 1 ~ 9 ，使得每行、每列和每个 3 × 3 子网格中的数字不重复。 ‧ 图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。 组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。 动态规划 hello‑algo.com 314 � 给定一个 ? × ? 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格 的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角 单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。 图 14‑10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 13 。 图 14‑10 最小路径和示例数据 第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 状态 [?, ?] 对应的子问题为：从起始点 [0, 0] 走到 [?, ?] 的最小路径和，解记为 ??[?, ?] 。 至此，我们就得到了图 14‑11 所示的二维 ?? 矩阵，其尺寸与输入网格 ???? 相同。 第 14 章 动态规划 hello‑algo.com 315 图 14‑11 状态定义与 dp 表 � 动态规划和回溯过程可以描述为一个决策序列，而状态由所有决策变量构成。它应当包含描